Integración por fracciones parciales

 Integración por fracciones parciales 

En esta clase vimos lo que es la integración por fracciones parciales, El objetivo es descomponer la fracción racional en una suma de fracciones más simples (fracciones parciales) cuyos denominadores sean factores del denominador original. Esto facilita la integración, ya que cada una de estas fracciones suele ser más fácil de integrar por métodos básicos. En lo personal no entendí bien la tela andaba un poco disperso, pero viendo videos y analizando los ejemplos de la clase quedo un poco más claro el tema 


El cociente de dos polinomios se denomina funcion racional. La derivacion de una funci´on racional conduce a una nueva funcion racional que puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte, la integracion de una funcion racional puede conducirnos a funciones que no son racionales por ejemplo:

ahora daremos un metodo para calcular la integral de una funcion racional cualquiera y se vera que el resultado puede expresarse siempre por medio de polinomios, funciones racionales, arco tangentes y logaritmos. 

La idea del metodo es descomponer la funcion racional en fracciones simples que pueden calcularse por medio de tecnicas ya conocidas (de debe realizar la descomposicion en fracciones parciales de la funcion racional considerada). 

Supongamos entonces que f(x)/g(x) es una funcion racional, si es impropia podemos simplemente dividir y nos queda
donde Q es un polinomio (el cociente de la division) y R (x) es el resto de la division (note que el grado del resto es menor que el del divisor g (x)), de esta forma toda funcion racional se puede escribir como la suma de un polinomio con una funcion racional propia.

ejemplo

Separamos los términos del numerador, cada uno con el denominador común y aplicamos la propiedad de la integral para sumas

Integramos cada una de las integrales obtenidas, para esto empleamos las fórmulas


Así, el resultado de la integral es






referencias 

https://www.cs.buap.mx/~fjrobles/FraPar.pdf

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/ejercicios-resueltos-de-integrales-racionales.html




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